|e^{it}|=1 & Rieman Zeta < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 So 13.01.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Zeige:
i. [mm] |e^{it}|=1 ;t\in\IR
[/mm]
ii. [mm] |e^{z}|=e^{Re(z)} ;z\in\IC
[/mm]
iii. [mm] s\in\IC [/mm] mit Re(s) > 1 : [mm] f(s):=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{s}} [/mm] absolut konvergent |
Hi,
mein Vorschlag:
i. [mm] |e^{it}|= [/mm] |cos(it)+i sin(it)|
= [mm] \wurzel{cos^{2}(it)+sin^{2}(it)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{1}
[/mm]
=1
ii. [mm] |e^{z}|=|e^{Re(z)+i Im(z)}|=|e^{Re(z)}e^{i Im(z)}|=|e^{Re(z)}| \underbrace{|e^{i Im(z)}|}_{=1}=|e^{Re(z)}| =e^{Re(z)}
[/mm]
iii. ist doch ne riemann zeta funktion... weiß nicht was ich da weiter zu schreiben sollte...
LG
SpoOny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige:
>
> i. [mm]|e^{it}|=1 ;t\in\IR[/mm]
>
> ii. [mm]|e^{z}|=e^{Re(z)} ;z\in\IC[/mm]
>
> iii. [mm]s\in\IC[/mm] mit Re(s) > 1 :
> [mm]f(s):=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{s}}[/mm] absolut
> konvergent
> Hi,
>
> mein Vorschlag:
>
>
> i. [mm]|e^{it}|=[/mm] |cos(it)+i sin(it)|
> = [mm]\wurzel{cos^{2}(it)+sin^{2}(it)}[/mm]
> = [mm]\wurzel{1}[/mm]
> =1
Nicht ganz. [mm] e^{it}= cos(t)+i sin(t)[/mm]. Für nicht reelle Argumente gilt die Identität [mm]\sin^2+\cos^2=1[/mm] nicht.
> ii. [mm]|e^{z}|=|e^{Re(z)+i Im(z)}|=|e^{Re(z)}e^{i Im(z)}|=|e^{Re(z)}| \underbrace{|e^{i Im(z)}|}_{=1}=|e^{Re(z)}| =e^{Re(z)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> iii. ist doch ne riemann zeta funktion... weiß nicht was
> ich da weiter zu schreiben sollte...
Du sollst zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.
Tipp: [mm] \left|\bruch{1}{n^s}\right| = |n^{-s}| = | \mathrm{e}^{-s\ln n}| [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 13.01.2008 | | Autor: | SpoOny |
Danke
> Du sollst zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.
>
> Tipp: [mm]\left|\bruch{1}{n^s}\right| = |n^{-s}| = | \mathrm{e}^{-s\ln n}| [/mm].
= [mm] |({e}^{-s})^{\ln n}| [/mm] hab ich dann eine geometrische Reihe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Du sollst zeigen, dass die Reihe absolut konvergent ist.
> >
> > Tipp: [mm]\left|\bruch{1}{n^s}\right| = |n^{-s}| = | \mathrm{e}^{-s\ln n}| [/mm].
>
> = [mm]|({e}^{-s})^{\ln n}|[/mm] hab ich dann eine geometrische Reihe?
Was hast du denn gerade in Teilaufgabe (ii) bewiesen? Wende diese Aussage an!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 13.01.2008 | | Autor: | SpoOny |
> Reihe?
>
> Was hast du denn gerade in Teilaufgabe (ii) bewiesen? Wende
> diese Aussage an!
[mm] |({e}^{-Re(s)})^{\ln n}|= \bruch{1}{n^{Re(s)}} [/mm] und da Re(s)>1 hab ich dann ne absolut konvergente Reihe (riemannZeta)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Reihe?
> >
> > Was hast du denn gerade in Teilaufgabe (ii) bewiesen? Wende
> > diese Aussage an!
>
>
> [mm]|({e}^{-Re(s)})^{\ln n}|= \bruch{1}{n^{Re(s)}}[/mm] und da
> Re(s)>1 hab ich dann ne absolut konvergente Reihe
> (riemannZeta)?
Richtig. Wobei du natürlich noch wissen oder beweisen musst, dass die verallgemeinerte harmonische Reihe
[mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^\alpha} [/mm]
für reelle [mm]\alpha>1[/mm] kovergiert.
Viele Grüße
Rainer
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